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人體就像一部機器一樣，使用久了以後，各種功能便會逐漸地衰退甚至故障，其中，俗稱老年痴呆症的阿茲海默病，可能是最讓患者的家屬倍感憂心的。因為腦的逐漸退化，將使人慢慢地喪失語言能力、空間辨識能力、認知能力，智力彷彿回到嬰兒期，但是肉體卻還能像成人般地行動，是此症的可怕之處。

二○一一年的電影《猩球崛起》裡就有一幕已老年痴呆的老人——男主角的父親，看到鄰居一部亮眼的車子，車門沒關的停在住家前的路邊，興起了想開車的念頭而走出去坐進駕駛座。已不記得鄰居是否有將車子熄火並取下鑰匙，總之男主角的父親憑著殘存的記憶，開動了車子。幸運的是，車子的前後各有一部車擋著，而男主角的父親已忘了轉動方向盤這件事，否則後果將不堪設想。

阿茲海默病至今仍然無有效的治療方法，電影中的男主角便是致力於找到可控制甚至治癒的藥。醫藥界研製新藥後，一定要先經過以動物來試驗的階段，電影中被測試的動物是猩猩。施打過男主角研發的新藥後的猩猩，如何判斷其智商是否提高了？其中有一項是讓猩猩玩「河內塔」遊戲。

三根竿子中的其中一根上有兩個以上尺寸皆相異的有孔圓盤，置放的順序是由下到上依次變小。如果每一個圓盤可以在三根竿子上移來移去，但是每次只能移動一個且大盤不能疊在小盤之上，最後將所有的圓盤依照原來的順序改置放於另一根竿子上，這樣的遊戲被稱為河內塔遊戲。

這個遊戲有一個古老的神話傳說。相傳在現今印度北部的貝那拉斯有一間寺廟，廟內安放著一塊插上三根寶石針的黃銅板，其中的一根串有六十四金片，金片的大小由下至上是越來越小，是印度教的三位主神之一的梵天在創造世界時放置的，稱為「梵塔」。梵天並且給了一個移動金片的不渝法則，也就是上述的方式。從此之後，廟裡的值班僧侶便要按照此法則，每天移動一片，將六十四金片移到另一根寶石針，完成之日就是世界滅亡之時。這樣的神話傳說所衍生的問題——至少需要移動幾次才能完成？是一個數學問題，叫做「梵塔」問題。因為有另一種說法是，該寺廟位於現今越南的河內，所以也稱為「河內塔」問題。

如果只有三片，那至少需要移動幾次才能完成呢？答案是7次。假設A、B、C代表由大至小的三片，置於第一根上（假設形如“CBA、__、__”），要移到第二根，如下的作法便是7次。

第1次：BA、C、__

第2次：A、C、B

第3次：A、__、CB

第4次：__、A、CB

第5次：C、A、B

第6次：C、BA、__

第7次：__、CBA、 __

如果有四片，那至少需要移動15次才能完成。電影中男主角帶了一隻小猩猩回家，被其父親取名叫凱撒。凱撒的母親便是移動15次就完成，而讓男主角雀躍不已，認為新藥是有效的。凱撒的母親一定以是如下的作法完成的。

第1次：CBA、__、D

第2次：BA、C、D

第3次：BA、DC、__

第4次：A、DC、B

第5次：DA、C、B

第6次：DA、__、CB

第7次：A、__、 DCB

第8次：__、A、DCB

第9次：__、DA、CB

第10次：C、DA、B

第11次：DC、A、B

第12次：DC、BA、__

第13次：C、BA、D

第14次：__、CBA、 D

第15次：__、DCBA、 __

如果有五片呢？那答案是31次。總而言之，若有N片，那答案是2^N－1次，此值等於有N項、首項是1、公比是2的等比數列之加總。而由以上的實做過程中，可得知面積最大的那一片只需移動1次，第二大的需移動2次，第三大的需移動4次，…，最小的需要移動的次數是2^N－1。

當N＝15時，2^N－1=32767，此數除以365的結果約90，也就是說，一天移動一次梵天所放置的金片，九十年才移動了15片次，天啊！那六十四片的河內塔需要幾年的時間才能完成呢？利用微軟的EXCEL或工程用的計算機得知2⁶⁴－1大約等於18×10¹⁹。這是一個多大的數字呢？換個方式來看吧。如果是每秒移動一次，那將18×10¹⁹除以一年三百六十五天的秒數之後，結果是571×10⁹，即約5700億年。

物理學家眼中的宇宙的年齡不過是137億年。看來篤信印度教的凡人，如果知道「河內塔」問題的答案，一定覺得梵天的預言是遙遙無期的。

註：參考資料

1. 維基百科。
2. 推翻世紀的數學故事 — 修訂版，豐閣出版。